Seja
ou
. Uma função
é dita homogênea de grau
, se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
e precisamos verificar se ela é homogênea. Além disso, se for homogênea, precisamos descobrir qual é o seu grau. Para resolver isso, vamos usar a definição de função homogênea e aplicar alguns cálculos básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau
. Uma função
é dita homogênea de grau
se, para todo
, a seguinte igualdade é válida:
No nosso caso, a função possui duas variáveis,
e
. Então, substituindo
por
, a condição fica:
Passo 3
Vamos calcular
substituindo
por
e
por
na função original:
Vamos simplificar cada termo:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, podemos fatorar o
de todos os termos:
Perceba que o que está dentro dos parênteses é exatamente
:
Passo 5
Comparando com a definição de função homogênea:
Vemos que:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, os expoentes de
devem ser iguais. Portanto:
Resposta
A função
é homogênea de grau
.
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.
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