Seja u em R^n, n=2 ou n = 3. Uma função f é dita homogênea de grau m pertence a Z, se para todo t > 0, f(t u) = t^m f(u). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
a) 1/(b + sen(c)) f(x, y) = 3 x^2 + 5 x y + y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos verificar se ela é homogênea. Além disso, se for homogênea, precisamos descobrir qual é o seu grau. Para resolver isso, vamos usar a definição de função homogênea e aplicar alguns cálculos básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau . Uma função é dita homogênea de grau se, para todo , a seguinte igualdade é válida:
No nosso caso, a função possui duas variáveis, e . Então, substituindo por , a condição fica:

Passo 3

Vamos calcular substituindo por e por na função original:
Vamos simplificar cada termo:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, podemos fatorar o de todos os termos:
Perceba que o que está dentro dos parênteses é exatamente :

Passo 5

Comparando com a definição de função homogênea:
Vemos que:
Para que isso seja verdadeiro para todo , os expoentes de devem ser iguais. Portanto:

Resposta

A função é homogênea de grau .

Exercícios relacionados

Classifique quanto a ordem e identifique o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo
(d^2 y)/(d x^2)^3 + (d y)/(d x)^2 + y = 0.
Resolva a equação diferencial exata :
(y^2 cos(x) - 3 x^2 y - 2 x) dx + (2 y sen(x) - x^3 + e^y) dy = 0
Resolva a equação diferencial de variável separável :
cos(x) dx + (y^2 + 1) dy = 0, sendo y(0) = 1
Classifique quanto a ordem e identifique o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo
y' + y = x