Determine se a equação diferencial é Exata e, se for, resolva-a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se uma equação diferencial é exata e, se for, resolvê-la. A equação que temos é:
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver uma equação desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação na forma
é exata se existir uma função
tal que:
Em outras palavras, as derivadas parciais de
em relação a
e
devem ser iguais a
e
, respectivamente.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais cruzadas de
e
. Especificamente, devemos ver se:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata. Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar
. Lembrando que
.
Calculando a derivada:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabendo que
.
Derivando em relação a
:
Passo 6
Comparando os resultados:
Percebemos que:
Isso significa que a equação diferencial fornecida é exata.
Passo 7
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Passo 8
Integrando cada termo separadamente:
Para o terceiro termo, fazemos uma substituição simples. Seja
, então:
Então, juntando tudo:
Onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Sabemos que
. Então:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Passo 10
Então, a função
completa é:
Como a solução geral da equação diferencial exata é
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: