Determine se a equação diferencial é Exata e, se for, resolva-a: (1/t + 1/t^2 - y/(t^2 + y^2)) dt + (y e^y + t/(t^2 + y^2)) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se uma equação diferencial é exata e, se for, resolvê-la. A equação que temos é:
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver uma equação desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação na forma é exata se existir uma função tal que:
Em outras palavras, as derivadas parciais de em relação a e devem ser iguais a e , respectivamente.

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais cruzadas de e . Especificamente, devemos ver se:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata. Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar . Lembrando que .
Calculando a derivada:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabendo que .
Derivando em relação a :

Passo 6

Comparando os resultados:
Percebemos que:
Isso significa que a equação diferencial fornecida é exata.

Passo 7

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função tal que:
Vamos integrar em relação a :

Passo 8

Integrando cada termo separadamente:
Para o terceiro termo, fazemos uma substituição simples. Seja , então:
Então, juntando tudo:
Onde é uma função de que surge da integração.

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Sabemos que . Então:
Simplificando:
Integrando em relação a :

Passo 10

Então, a função completa é:
Como a solução geral da equação diferencial exata é , temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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