Resolva a equação diferencial para o oscilador harmônico amortecido (o caso sub-crítico), considere a constante de amortecimento e a frequência natural da mola . Determine a amplitude e a fase para as condições iniciais (em ), e . Teste seu resultado para o caso em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial de um oscilador harmônico amortecido no caso subcrítico. Isso significa que temos uma mola que oscila, mas com uma resistência (amortecimento) que faz a amplitude diminuir com o tempo. As constantes que vamos usar são (constante de amortecimento) e (frequência natural da mola). Precisamos determinar a amplitude e a fase considerando as condições iniciais: quando , a posição é e a velocidade é . Depois, vamos testar o resultado para o caso onde .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento desse sistema. Para um oscilador harmônico amortecido, a equação é:
Aqui, é a massa do objeto na mola. Para simplificar, vamos assumir que , onde é a taxa de amortecimento. Assim, a equação fica:

Passo 3

No caso subcrítico (ou subamortecido), sabemos que . Isso significa que o sistema oscila enquanto a amplitude diminui exponencialmente com o tempo. A solução geral para essa equação diferencial é:
Aqui, é a amplitude inicial, é a frequência angular amortecida, e é a fase inicial.

Passo 4

Vamos determinar . A frequência angular amortecida é dada por:
Essa fórmula nos mostra como a frequência do sistema diminui devido ao amortecimento.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Sabemos que em :
Vamos calcular a derivada de para encontrar a velocidade:
Em :

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
Podemos resolver esse sistema para e . Primeiro, resolvemos a primeira equação para :

Passo 7

Substituindo na segunda equação:
Rearranjando para encontrar :

Passo 8

Agora, podemos encontrar a amplitude usando a relação . Isso vem da combinação das condições iniciais e das relações trigonométricas envolvidas.

Passo 9

Resumindo, as expressões para a amplitude e a fase são:

Resposta

A amplitude e a fase do oscilador harmônico amortecido são, respectivamente:
No caso em que , as expressões simplificam para:

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Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a . Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a amplitude cai pela metade após um tempo , determine a perda de energia após este mesmo tempo.
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