Resolva a equação diferencial para o oscilador harmônico amortecido (o caso sub-crítico), considere a constante de amortecimento
e a frequência natural da mola
. Determine a amplitude e a fase para as condições iniciais (em
),
e
. Teste seu resultado para o caso em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial de um oscilador harmônico amortecido no caso subcrítico. Isso significa que temos uma mola que oscila, mas com uma resistência (amortecimento) que faz a amplitude diminuir com o tempo. As constantes que vamos usar são
(constante de amortecimento) e
(frequência natural da mola). Precisamos determinar a amplitude e a fase considerando as condições iniciais: quando
, a posição é
e a velocidade é
. Depois, vamos testar o resultado para o caso onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento desse sistema. Para um oscilador harmônico amortecido, a equação é:
Aqui,
é a massa do objeto na mola. Para simplificar, vamos assumir que
, onde
é a taxa de amortecimento. Assim, a equação fica:
Passo 3
No caso subcrítico (ou subamortecido), sabemos que
. Isso significa que o sistema oscila enquanto a amplitude diminui exponencialmente com o tempo. A solução geral para essa equação diferencial é:
Aqui,
é a amplitude inicial,
é a frequência angular amortecida, e
é a fase inicial.
Passo 4
Vamos determinar
. A frequência angular amortecida é dada por:
Essa fórmula nos mostra como a frequência do sistema diminui devido ao amortecimento.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Sabemos que em
:
Vamos calcular a derivada de
para encontrar a velocidade:
Em
:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações:
Podemos resolver esse sistema para
e
. Primeiro, resolvemos a primeira equação para
:
Passo 7
Substituindo
na segunda equação:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 8
Agora, podemos encontrar a amplitude
usando a relação
. Isso vem da combinação das condições iniciais e das relações trigonométricas envolvidas.
Passo 9
Resumindo, as expressões para a amplitude
e a fase
são:
Resposta
A amplitude e a fase do oscilador harmônico amortecido são, respectivamente:
No caso em que
, as expressões simplificam para:
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