Resolva a equação diferencial para o oscilador harmônico amortecido (o caso sub-crítico), considere a constante de amortecimento b e a frequência natural da mola omega0. Determine a amplitude e a fase para as condições iniciais (em t=0 ), x=x0 e v=v0. Teste seu resultado para o caso em que v0=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial de um oscilador harmônico amortecido no caso subcrítico. Isso significa que temos uma mola que oscila, mas com uma resistência (amortecimento) que faz a amplitude diminuir com o tempo. As constantes que vamos usar são (constante de amortecimento) e (frequência natural da mola). Precisamos determinar a amplitude e a fase considerando as condições iniciais: quando , a posição é e a velocidade é . Depois, vamos testar o resultado para o caso onde .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento desse sistema. Para um oscilador harmônico amortecido, a equação é:
d^2xdt^2 + bm dxdt + omega0^2 x = 0
Aqui, d^2xdt^2 + 2beta dxdt + omega0^2 x = 0 é a massa do objeto na mola. Para simplificar, vamos assumir que , onde é a taxa de amortecimento. Assim, a equação fica:

Passo 3

No caso subcrítico (ou subamortecido), sabemos que x(t) = A e^-beta t cos(omega t - phi) . Isso significa que o sistema oscila enquanto a amplitude diminui exponencialmente com o tempo. A solução geral para essa equação diferencial é:
Aqui, é a amplitude inicial, é a frequência angular amortecida, e é a fase inicial.

Passo 4

Vamos determinar omega = raizomega0^2 - beta^2 . A frequência angular amortecida é dada por:
Essa fórmula nos mostra como a frequência do sistema diminui devido ao amortecimento.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar x(0) = x0 e v(0) = v0 e v(t) = dxdt = -A e^-beta t (beta cos(omega t - phi) + omega sin(omega t - phi)) . Sabemos que em v(0) = -A (beta cos(-phi) + omega sin(-phi)) = -A (beta cosphi - omega sinphi) = v0 :
Vamos calcular a derivada de para encontrar a velocidade:
Em :

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. A = x0cosphi
Podemos resolver esse sistema para e . Primeiro, resolvemos a primeira equação para :

Passo 7

Substituindo v0 = -x0cosphi (beta cosphi - omega sinphi) = -x0 (beta - omega tanphi) na segunda equação:
v0 = -x0 beta + x0 omega tanphi implies tanphi = v0 + x0 betax0 omega
Rearranjando para encontrar :

Passo 8

Agora, podemos encontrar a amplitude usando a relação . Isso vem da combinação das condições iniciais e das relações trigonométricas envolvidas.

Passo 9

Resumindo, as expressões para a amplitude A = raizx0^2 + ( v0 + x0 betaomega )^2 e a fase phi = arctan( v0 + x0 betax0 omega ) são:

Resposta

A amplitude e a fase do oscilador harmônico amortecido são, respectivamente:
A = raizx0^2 + ( v0 + x0 betaomega )^2
phi = arctan( v0 + x0 betax0 omega )
No caso em que A = raizx0^2 + ( x0 betaomega )^2 = x0 raiz1 + ( betaomega )^2 , as expressões simplificam para:
phi = arctan( x0 betax0 omega ) = arctan( betaomega )

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