Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a
. Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a energia cai pela metade após um tempo
, determine a amplitude após este mesmo tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola amortecido, que é aquele onde a amplitude do movimento diminui com o tempo por causa de uma força de amortecimento proporcional à velocidade, representada por
. Nosso objetivo aqui é resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) desse sistema no caso sub-crítico (quando o sistema oscila de maneira amortecida sem superação da posição de equilíbrio) e, sabendo que a energia do sistema cai pela metade após um tempo
, determinar a amplitude após esse tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- A equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido.
- Como resolver essa EDO no caso sub-crítico.
- A relação entre energia e amplitude do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido. Ela é dada por:
Onde:
-
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a constante da mola, -
é o deslocamento.
Para simplificar, podemos dividir toda a equação por
:
Aqui, definimos:
Passo 3
Como estamos no caso sub-crítico, o sistema é subamortecido, o que significa que
. A solução geral da EDO para esse caso é:
Onde
.
Para simplificar, podemos escrever a solução como:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Mas como estamos interessados apenas na amplitude, podemos focar na parte exponencial:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar a energia do sistema com a amplitude. A energia total
de um sistema oscilante é proporcional ao quadrado da amplitude:
De acordo com o enunciado, a energia cai pela metade após o tempo
:
Substituindo a relação da energia com a amplitude:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
Após o tempo
, a amplitude do sistema é igual a
vezes a amplitude inicial, ou seja:
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Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a
. Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a amplitude cai pela metade após um tempo
, determine a perda de energia após este mesmo tempo.
Considere um sistema massa-mola, massa
, constante elástica
. O bloco é deslocado, esticando a mola de
em relação a sua posição de equilíbrio. Neste instante se imprime uma velocidade
na intenção de comprimir a mola. Com estas condições iniciais determine a amplitude e a fase do movimento e escreva a equação do deslocamento como função do tempo. (Deixe clara a adoção dos sentidos e o porque dos sinais que você utilizou.)
Resolva a equação diferencial para o oscilador harmônico amortecido (o caso sub-crítico), considere a constante de amortecimento
e a frequência natural da mola
. Determine a amplitude e a fase para as condições iniciais (em
),
e
. Teste seu resultado para o caso em que
.
Explique a diferença entre a descrição clássica de uma partícula e a descrição quântica de um elétron no contexto da experiência da fenda dupla.