Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a v. Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a energia cai pela metade após um tempo tau, determine a amplitude após este mesmo tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola amortecido, que é aquele onde a amplitude do movimento diminui com o tempo por causa de uma força de amortecimento proporcional à velocidade, representada por . Nosso objetivo aqui é resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) desse sistema no caso sub-crítico (quando o sistema oscila de maneira amortecida sem superação da posição de equilíbrio) e, sabendo que a energia do sistema cai pela metade após um tempo , determinar a amplitude após esse tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. A equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido.
  2. Como resolver essa EDO no caso sub-crítico.
  3. A relação entre energia e amplitude do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido. Ela é dada por:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = 0
Onde:
  • d^2xdt^2 + 2beta dxdt + omega0^2 x = 0 é a massa,
  • beta = c2m e omega0 = raizkm é o coeficiente de amortecimento,
  • é a constante da mola,
  • é o deslocamento.
Para simplificar, podemos dividir toda a equação por :
Aqui, definimos:

Passo 3

Como estamos no caso sub-crítico, o sistema é subamortecido, o que significa que x(t) = A e^-beta t cos(omega' t) + B e^-beta t sin(omega' t) . A solução geral da EDO para esse caso é:
x(t) = C e^-beta t cos(omega' t - de
Onde A(t) = C e^-beta t .
Para simplificar, podemos escrever a solução como:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais. Mas como estamos interessados apenas na amplitude, podemos focar na parte exponencial:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a energia do sistema com a amplitude. A energia total E(t) propto A(t)^2 de um sistema oscilante é proporcional ao quadrado da amplitude:
E(tau) = 12 E(0)
De acordo com o enunciado, a energia cai pela metade após o tempo A(tau)^2 = 12 A(0)^2 :
A(tau) = A(0)raiz2
Substituindo a relação da energia com a amplitude:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

Após o tempo A(tau) = A0raiz2 , a amplitude do sistema é igual a vezes a amplitude inicial, ou seja:

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