Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a v. Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a amplitude cai pela metade após um tempo tau, determine a perda de energia após este mesmo tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou sobre um sistema massa-mola que tem amortecimento, ou seja, onde a amplitude do movimento diminui com o tempo. A gente vai resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) que descreve esse sistema no caso subamortecido. Além disso, você quer saber quanto de energia o sistema perde quando a amplitude cai pela metade após um tempo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos harmônicos amortecidos e como a energia se relaciona com a amplitude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve um sistema massa-mola com amortecimento proporcional à velocidade. A EDO geral para esse sistema é:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = 0
Aqui:
  • é a massa,
  • é a constante de amortecimento,
  • é a constante da mola,
  • é a posição da massa em função do tempo.

Passo 3

Para simplificar, vamos dividir todos os termos por d^2xdt^2 + 2gamma dxdt + omega0^2 x = 0 :
Onde:
  • é a taxa de amortecimento,
  • é a frequência natural do sistema sem amortecimento.

Passo 4

No caso subamortecido, a condição é x(t) = A e^-gamma t cos(omega' t + phi) . A solução geral para a EDO nesse caso é:
Onde:
  • é a amplitude inicial,
  • é a frequência angular amortecida,
  • é a fase inicial.

Passo 5

A amplitude do movimento, A(t) = A e^-gamma t , diminui exponencialmente com o tempo devido ao termo A(tau) = A2 = A e^-gamma tau . Ou seja:
12 = e^-gamma tau
Nos foi dado que a amplitude cai pela metade após um tempo :
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 6

Para encontrar ln(12) = -gamma tau , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
-ln 2 = -gamma tau implies gamma tau = ln 2
Sabemos que , então:

Passo 7

A energia total do sistema E(t) propto A(t)^2 = (A e^-gamma t)^2 = A^2 e^-2gamma t está relacionada à amplitude ao quadrado:
De
A perda de energia após o tempo é a diferença entre a energia inicial e a energia em :

Passo 8

Como já sabemos que De, substituímos na expressão:
e^-2ln 2 = (e^ln 2)^-2 = 2^-2 = 14
Simplificando De:
Então:

Resposta

Após o tempo , a perda de energia do sistema é , ou seja, 75% da energia inicial.

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