Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a . Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a amplitude cai pela metade após um tempo , determine a perda de energia após este mesmo tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou sobre um sistema massa-mola que tem amortecimento, ou seja, onde a amplitude do movimento diminui com o tempo. A gente vai resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) que descreve esse sistema no caso subamortecido. Além disso, você quer saber quanto de energia o sistema perde quando a amplitude cai pela metade após um tempo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos harmônicos amortecidos e como a energia se relaciona com a amplitude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve um sistema massa-mola com amortecimento proporcional à velocidade. A EDO geral para esse sistema é:
Aqui:
  • é a massa,
  • é a constante de amortecimento,
  • é a constante da mola,
  • é a posição da massa em função do tempo.

Passo 3

Para simplificar, vamos dividir todos os termos por :
Onde:
  • é a taxa de amortecimento,
  • é a frequência natural do sistema sem amortecimento.

Passo 4

No caso subamortecido, a condição é . A solução geral para a EDO nesse caso é:
Onde:
  • é a amplitude inicial,
  • é a frequência angular amortecida,
  • é a fase inicial.

Passo 5

A amplitude do movimento, , diminui exponencialmente com o tempo devido ao termo . Ou seja:
Nos foi dado que a amplitude cai pela metade após um tempo :
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 6

Para encontrar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que , então:

Passo 7

A energia total do sistema está relacionada à amplitude ao quadrado:
A perda de energia após o tempo é a diferença entre a energia inicial e a energia em :

Passo 8

Como já sabemos que , substituímos na expressão:
Simplificando :
Então:

Resposta

Após o tempo , a perda de energia do sistema é , ou seja, 75% da energia inicial.

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Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a . Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a energia cai pela metade após um tempo , determine a amplitude após este mesmo tempo.
Resolva a equação diferencial para o oscilador harmônico amortecido (o caso sub-crítico), considere a constante de amortecimento e a frequência natural da mola . Determine a amplitude e a fase para as condições iniciais (em ), e . Teste seu resultado para o caso em que .