Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a
. Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a amplitude cai pela metade após um tempo
, determine a perda de energia após este mesmo tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou sobre um sistema massa-mola que tem amortecimento, ou seja, onde a amplitude do movimento diminui com o tempo. A gente vai resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) que descreve esse sistema no caso subamortecido. Além disso, você quer saber quanto de energia o sistema perde quando a amplitude cai pela metade após um tempo
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos harmônicos amortecidos e como a energia se relaciona com a amplitude.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve um sistema massa-mola com amortecimento proporcional à velocidade. A EDO geral para esse sistema é:
Aqui:
-
é a massa, -
é a constante de amortecimento, -
é a constante da mola, -
é a posição da massa em função do tempo.
Passo 3
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por
:
Onde:
-
é a taxa de amortecimento, -
é a frequência natural do sistema sem amortecimento.
Passo 4
No caso subamortecido, a condição é
. A solução geral para a EDO nesse caso é:
Onde:
-
é a amplitude inicial, -
é a frequência angular amortecida, -
é a fase inicial.
Passo 5
A amplitude do movimento,
, diminui exponencialmente com o tempo devido ao termo
. Ou seja:
Nos foi dado que a amplitude cai pela metade após um tempo
:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 6
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Passo 7
A energia total do sistema
está relacionada à amplitude ao quadrado:
A perda de energia após o tempo
é a diferença entre a energia inicial
e a energia em
:
Passo 8
Como já sabemos que
, substituímos na expressão:
Simplificando
:
Então:
Resposta
Após o tempo
, a perda de energia do sistema é
, ou seja, 75% da energia inicial.
Exercícios relacionados
Considere um sistema massa-mola, massa
, constante elástica
. O bloco é deslocado, esticando a mola de
em relação a sua posição de equilíbrio. Neste instante se imprime uma velocidade
na intenção de comprimir a mola. Com estas condições iniciais determine a amplitude e a fase do movimento e escreva a equação do deslocamento como função do tempo. (Deixe clara a adoção dos sentidos e o porque dos sinais que você utilizou.)
O que é um corpo neutro?
Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a
. Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a energia cai pela metade após um tempo
, determine a amplitude após este mesmo tempo.
Resolva a equação diferencial para o oscilador harmônico amortecido (o caso sub-crítico), considere a constante de amortecimento
e a frequência natural da mola
. Determine a amplitude e a fase para as condições iniciais (em
),
e
. Teste seu resultado para o caso em que
.