Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial:

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial dada:
com as condições iniciais e . A função é definida por partes:
Vamos utilizar o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a transformada de Laplace para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de é e a de é . Como e , as expressões simplificam.
Aplicando a transformada de Laplace:

Passo 3

Vamos fatorar na equação:
Portanto:

Passo 4

Precisamos encontrar a transformada de Laplace de . A função é uma função degrau que começa em e desce para zero em . Podemos expressar usando a função degrau de Heaviside :
A transformada de Laplace de é e a de é . Então:

Passo 5

Substituindo na expressão de :

Passo 6

Vamos fatorar o denominador :
Então:

Passo 7

Para encontrar , precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de . Vamos separar em duas frações parciais:
A transformada inversa de cada termo pode ser encontrada usando tabelas de Laplace e propriedades de deslocamento.

Passo 8

Calculando a transformada inversa do primeiro termo:
E para o segundo termo, aplicando o deslocamento:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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