Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0 f(t)= 1, & 0 <= t<10 0, & 10 <= t

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial dada:
y'' + 3 y' + 2 y = f(t),
com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0. A função f(t) é definida por partes:
f(t) = 1, & 0 <= t < 10 0, & 10 <= t
Vamos utilizar o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a transformada de Laplace para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de y''(t) é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) e a de y'(t) é s Y(s) - y(0). Como y(0) = 0 e y'(0) = 0, as expressões simplificam.
Aplicando a transformada de Laplace:
s^2 Y(s) + 3 s Y(s) + 2 Y(s) = Lf(t)

Passo 3

Vamos fatorar Y(s) na equação:
Y(s) (s^2 + 3 s + 2) = Lf(t)
Portanto:
Y(s) = Lf(t)s^2 + 3 s + 2

Passo 4

Precisamos encontrar a transformada de Laplace de f(t). A função f(t) é uma função degrau que começa em t=0 e desce para zero em t=10. Podemos expressar f(t) usando a função degrau de Heaviside u(t):
f(t) = u(t) - u(t - 10)
A transformada de Laplace de u(t) é 1s e a de u(t - a) é e^-a ss. Então:
Lf(t) = 1s - e^-10 ss

Passo 5

Substituindo Lf(t) na expressão de Y(s):
Y(s) = 1s - e^-10 sss^2 + 3 s + 2 = 1 - e^-10 ss (s^2 + 3 s + 2)

Passo 6

Vamos fatorar o denominador s^2 + 3 s + 2:
s^2 + 3 s + 2 = (s + 1)(s + 2)
Então:
Y(s) = 1 - e^-10 ss (s + 1)(s + 2)

Passo 7

Para encontrar y(t), precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de Y(s). Vamos separar Y(s) em duas frações parciais:
Y(s) = 1s (s + 1)(s + 2) - e^-10 ss (s + 1)(s + 2)
A transformada inversa de cada termo pode ser encontrada usando tabelas de Laplace e propriedades de deslocamento.

Passo 8

Calculando a transformada inversa do primeiro termo:
L^-11s (s + 1)(s + 2) = 12 (1 - e^-t) - 12 e^-2 t
E para o segundo termo, aplicando o deslocamento:
L^-1e^-10 ss (s + 1)(s + 2) = u(t - 10) [12 (1 - e^-(t - 10)) - 12 e^-2 (t - 10)]

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 12 (1 - e^-t) - 12 e^-2 t - u(t - 10) [12 (1 - e^-(t - 10)) - 12 e^-2 (t - 10)]

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