Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial dada:
com as condições iniciais
e
. A função
é definida por partes:
Vamos utilizar o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a transformada de Laplace para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é
e a de
é
. Como
e
, as expressões simplificam.
Aplicando a transformada de Laplace:
Passo 3
Vamos fatorar
na equação:
Portanto:
Passo 4
Precisamos encontrar a transformada de Laplace de
. A função
é uma função degrau que começa em
e desce para zero em
. Podemos expressar
usando a função degrau de Heaviside
:
A transformada de Laplace de
é
e a de
é
. Então:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador
:
Então:
Passo 7
Para encontrar
, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de
. Vamos separar
em duas frações parciais:
A transformada inversa de cada termo pode ser encontrada usando tabelas de Laplace e propriedades de deslocamento.
Passo 8
Calculando a transformada inversa do primeiro termo:
E para o segundo termo, aplicando o deslocamento:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.
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Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial:
Nos Exercícios 23-40, calcule os limites indicados.
23.
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