Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada: d ud t=2 t+sec ^2 t2 u, u(0)=-5

Passo 1

Vamos começar resumindo o que estamos lidando. Temos uma equação diferencial da forma d ud t=2 t+sec ^2 t2 u, onde u é uma função de t. Além disso, temos uma condição inicial que é u(0)=-5. O conteúdo que vamos explorar aqui é a resolução de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, a gente vai usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é separar as variáveis u e t. Para isso, vamos reescrever a equação:
d ud t = 2 t + sec^2 t2 u
Podemos multiplicar ambos os lados por 2u para obter:
2u d ud t = 2t + sec^2 t
Agora, vamos dividir ambos os lados por 2u e multiplicar por dt:
2u , du = (2t + sec^2 t) , dt
Isso nos dá uma forma que podemos integrar.

Passo 3

Agora vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo, com relação a u, fica assim:
integral 2u , du = u^2 + C1
E a integral do lado direito, com relação a t, é:
integral (2t + sec^2 t) , dt = t^2 + tan t + C2
Assim, juntando tudo, temos:
u^2 = t^2 + tan t + C
onde C = C2 - C1 é uma constante geral.

Passo 4

Agora que temos a expressão para u^2, precisamos usar a condição inicial u(0) = -5 para encontrar o valor de C. Vamos substituir t=0 na equação que encontramos:
(-5)^2 = 0^2 + tan(0) + C
Isso nos dá:
25 = 0 + 0 + C Rightarrow C = 25

Passo 5

Agora que temos o valor de C, podemos escrever a solução geral da equação:
u^2 = t^2 + tan t + 25
Por fim, vamos tirar a raiz quadrada para encontrar u:
u = pm raizt^2 + tan t + 25
Como a condição inicial u(0) = -5 é negativa, a solução específica que estamos procurando é:
u = -raizt^2 + tan t + 25

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é u(t) = -raizt^2 + tan t + 25.

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