Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
Passo 1
Vamos começar resumindo o que estamos lidando. Temos uma equação diferencial da forma
, onde
é uma função de
. Além disso, temos uma condição inicial que é
. O conteúdo que vamos explorar aqui é a resolução de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, a gente vai usar o método de separação de variáveis.
Passo 2
A primeira coisa que vamos fazer é separar as variáveis
e
. Para isso, vamos reescrever a equação:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para obter:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Isso nos dá uma forma que podemos integrar.
Passo 3
Agora vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo, com relação a
, fica assim:
E a integral do lado direito, com relação a
, é:
Assim, juntando tudo, temos:
onde
é uma constante geral.
Passo 4
Agora que temos a expressão para
, precisamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Vamos substituir
na equação que encontramos:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, podemos escrever a solução geral da equação:
Por fim, vamos tirar a raiz quadrada para encontrar
:
Como a condição inicial
é negativa, a solução específica que estamos procurando é:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é
.