Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:

Passo 1

Vamos começar resumindo o que estamos lidando. Temos uma equação diferencial da forma , onde é uma função de . Além disso, temos uma condição inicial que é . O conteúdo que vamos explorar aqui é a resolução de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, a gente vai usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é separar as variáveis e . Para isso, vamos reescrever a equação:
Podemos multiplicar ambos os lados por para obter:
Agora, vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :
Isso nos dá uma forma que podemos integrar.

Passo 3

Agora vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo, com relação a , fica assim:
E a integral do lado direito, com relação a , é:
Assim, juntando tudo, temos:
onde é uma constante geral.

Passo 4

Agora que temos a expressão para , precisamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Vamos substituir na equação que encontramos:
Isso nos dá:

Passo 5

Agora que temos o valor de , podemos escrever a solução geral da equação:
Por fim, vamos tirar a raiz quadrada para encontrar :
Como a condição inicial é negativa, a solução específica que estamos procurando é:

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é .

Exercícios relacionados

De acordo com a teoria cinética dos gases, é incorreto afirmar:
a) Energia cinética média é proporcional à temperatura em kelvin.
b) As partículas estão muito unidas e têm baixa velocidade.
c) As partículas ocupam todo o volume disponível e têm movimento libre.
d) As partículas possuem alta velocidade e ocorrem choques entre elas e contra as paredes do recipiente que as contêm.
e) As partículas têm movimento desordenado.
Considere que um recipiente a contém 50 litros de um certo gás exercendo a pressão de 1 atm e responda:
a) Se essa mesma massa de gás for transferida para um recipiente com capacidade para 80 litros, mantendo-se a temperatura constante, o que você espera verificar quanto a pressão nesse caso (aumentará, diminuirá ou permanecerá constante)? Porquê?
b) Qual será o valor da pressão exercida por esta mesma massa de gás a em um recipiente com capacidade para 80 litros?
(b - 1 ponto) A porta do celeiro está inicialmente aberta e, imediatamente após o corredor e a barra estarem totalmente dentro do celeiro, o amigo fecha a porta. Quanto tempo após a porta ser fechada a frente do poste atinge a outra extremidade do celeiro, conforme medido pelo amigo?
Resolva a equação diferencial . Resolva o problema de valor inicial problema de valor inicial tem solução?