Resolva a equação exata:
(4 x^3+3 y^2) d x+(2 x y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você mandou:
(4 x^3+3 y^2) , dx + (2 x y) , dy = 0
Primeiro, a gente precisa entender que estamos lidando com uma equação diferencial exata. Isso significa que existe uma função cuja derivada total dá exatamente essa equação. Para encontrar essa função, vamos seguir alguns passos básicos da teoria das equações diferenciais exatas.

Passo 2

O primeiro passo é verificar se a equação é realmente exata. Para isso, identificamos as funções que estão multiplicando partial Mpartial y = 6y e partial Npartial x = 2y :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Para a equação ser exata, essas duas derivadas devem ser iguais. Vimos que não é igual a . Então, parece que a equação não é exata. Mas não esquenta, a gente pode encontrar um fator integrante que resolve isso.

Passo 3

Vamos achar um fator integrante que depende apenas de mu(x)(4x^3 + 3y^2) , dx + mu(x)(2xy) , dy = 0 . A ideia é multiplicar a equação original por uma função partial [mu(x)(4x^3 + 3y^2)]partial y = partial [mu(x)(2xy)]partial x tal que a nova equação seja exata.
Multiplicando a equação por mu(x) cdot 6y :
mu'(x) cdot 2xy + mu(x) cdot 2y
Agora, aplicamos a condição de exatidão:
mu(x) cdot 6y = mu'(x) cdot 2xy + mu(x) cdot 2y
Calculando as derivadas:
  • Esquerda: 6mu(x) y = 2x mu'(x) y + 2mu(x) y
  • Direita: 6mu(x) = 2x mu'(x) + 2mu(x)
Igualando:
4mu(x) = 2x mu'(x)
Simplificando:
2mu(x) = x mu'(x)
Dividindo ambos os lados por mu'(x)mu(x) = 2x (assumindo ):
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por :
Rearranjando:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para dmudx = 2x mu(x) :
dmumu = 2x dx
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
ln|mu| = 2ln|x| + C
Integrando ambos os lados:
mu = e^2ln|x| + C = e^C cdot x^2
Onde mu(x) = x^2 é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Como é apenas uma constante, podemos simplificar para:

Passo 5

Agora que temos o fator integrante x^2(4x^3 + 3y^2) , dx + x^2(2xy) , dy = 0 , vamos multiplicar a equação original por ele:
(4x^5 + 3x^2 y^2) , dx + (2x^3 y) , dy = 0
Simplificando:
partial Mpartial y = 6x^2 y = partial Npartial x = 6x^2 y
Essa nova equação é exata, pois agora as derivadas parciais são iguais:
Verificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função dF = M , dx + N , dy cuja derivada total corresponde à equação exata:
F(x, y) = integral (4x^5 + 3x^2 y^2) , dx = 46x^6 + 33x^3 y^2 + h(y) = 23x^6 + x^3 y^2 + h(y)
Primeiro, integramos partial Fpartial y = 2x^3 y + h'(y) = 2x^3 y em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
23x^6 + x^3y^2 = C
Onde é uma constante arbitrária.

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