Resolva a equação exata:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você mandou:
Primeiro, a gente precisa entender que estamos lidando com uma equação diferencial exata. Isso significa que existe uma função
cuja derivada total dá exatamente essa equação. Para encontrar essa função, vamos seguir alguns passos básicos da teoria das equações diferenciais exatas.
Passo 2
O primeiro passo é verificar se a equação é realmente exata. Para isso, identificamos as funções que estão multiplicando
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a :
Para a equação ser exata, essas duas derivadas devem ser iguais. Vimos que
não é igual a
. Então, parece que a equação não é exata. Mas não esquenta, a gente pode encontrar um fator integrante que resolve isso.
Passo 3
Vamos achar um fator integrante que depende apenas de
. A ideia é multiplicar a equação original por uma função
tal que a nova equação seja exata.
Multiplicando a equação por
:
Agora, aplicamos a condição de exatidão:
Calculando as derivadas:
- Esquerda:
- Direita:
Igualando:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Rearranjando:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Como
é apenas uma constante, podemos simplificar para:
Passo 5
Agora que temos o fator integrante
, vamos multiplicar a equação original por ele:
Simplificando:
Essa nova equação é exata, pois agora as derivadas parciais são iguais:
Verificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função
cuja derivada total corresponde à equação exata:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva a seguinte equação homogênea:
Seja
uma matriz quadrada de ordem 3 tal que
. Calcule:
©
©
Resolva a equação exata:
Resolva a equação exata
.