Escreva as equações a seguir na forma (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, determinando o centro e o raio das circunferências.
x^2+y^2-x-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de circunferência juntos! O objetivo aqui é transformar a equação dada, que está em uma forma geral, para a forma padrão da circunferência: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Assim, a gente consegue identificar facilmente o centro (a, b) e o raio r da circunferência. Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para separar os termos de x e de y. A equação que a gente tem é:
x^2 + y^2 - x - 2y = 0
Vamos reescrever agrupando os termos semelhantes:
x^2 - x + y^2 - 2y = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x. Olha só:
Para o termo x^2 - x, a gente completa o quadrado assim:
  1. Pegue o coeficiente de x, que é -1, divida por 2 e eleve ao quadrado:
    (-12)^2 = 14
  2. Adicione e subtraia esse valor na equação:
    x^2 - x + 14 - 14
  3. Assim, podemos escrever:
    (x - 12)^2 - 14

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para os termos de y. Para o termo y^2 - 2y:
  1. Pegue o coeficiente de y, que é -2, divida por 2 e eleve ao quadrado:
    (-22)^2 = 1
  2. Adicione e subtraia esse valor na equação:
    y^2 - 2y + 1 - 1
  3. Assim, podemos escrever:
    (y - 1)^2 - 1

Passo 5

Agora, vamos substituir essas expressões de volta na equação original:
(x - 12)^2 - 14 + (y - 1)^2 - 1 = 0
Vamos somar os termos constantes:
(x - 12)^2 + (y - 1)^2 - 14 - 1 = 0
(x - 12)^2 + (y - 1)^2 - 54 = 0

Passo 6

Agora, isolemos os termos quadrados:
(x - 12)^2 + (y - 1)^2 = 54
Pronto! Essa é a forma padrão da circunferência.

Resposta

A equação na forma padrão é:
(x - 12)^2 + (y - 1)^2 = 54
Portanto, o centro da circunferência é (12, 1) e o raio é raiz52.

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