Escreva as equações a seguir na forma , determinando o centro e o raio das circunferências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de circunferência juntos! O objetivo aqui é transformar a equação dada, que está em uma forma geral, para a forma padrão da circunferência: . Assim, a gente consegue identificar facilmente o centro e o raio da circunferência. Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para separar os termos de e de . A equação que a gente tem é:
Vamos reescrever agrupando os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Olha só:
Para o termo , a gente completa o quadrado assim:
  1. Pegue o coeficiente de , que é , divida por e eleve ao quadrado:
  2. Adicione e subtraia esse valor na equação:
  3. Assim, podemos escrever:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para os termos de . Para o termo :
  1. Pegue o coeficiente de , que é , divida por e eleve ao quadrado:
  2. Adicione e subtraia esse valor na equação:
  3. Assim, podemos escrever:

Passo 5

Agora, vamos substituir essas expressões de volta na equação original:
Vamos somar os termos constantes:

Passo 6

Agora, isolemos os termos quadrados:
Pronto! Essa é a forma padrão da circunferência.

Resposta

A equação na forma padrão é:
Portanto, o centro da circunferência é e o raio é .

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Escreva as equações a seguir na forma , determinando o centro e o raio das circunferências.
Resolva a equação homogênea:
Escreva as equações a seguir na forma , determinando o centro e o raio das circunferências.
.
Sejam e vetores em tais que
Mostre que é uma base ordenada de . Além disso, calcule .