Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
(d) ABXA^-1 B^-1=I+A.

Passo 1

Vamos resolver a equação matricial para encontrar a matriz . Aqui, estamos lidando com álgebra matricial, especificamente com propriedades de matrizes invertíveis. Para resolver essa equação, vamos usar operações de multiplicação e inversão de matrizes para isolar .

Passo 2

Primeiro, queremos isolar ABXA^-1 B^-1 = I + A na equação. A equação inicial é:
(AB)^-1 cdot ABXA^-1 B^-1 = (AB)^-1 (I + A)
Para simplificar, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de X A^-1 B^-1 = (AB)^-1 (I + A) à esquerda. A inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem inversa, então:
Como , a equação simplifica para:

Passo 3

Agora, para isolar X A^-1 B^-1 cdot A = (AB)^-1 (I + A) A , vamos multiplicar ambos os lados pela matriz X B^-1 = (AB)^-1 (I + A) A à direita:
Sabemos que , então a equação fica:

Passo 4

Para continuar isolando X B^-1 cdot B = (AB)^-1 (I + A) A cdot B , multiplicamos ambos os lados pela matriz X = (AB)^-1 (I + A) A B à direita:
Como , temos:

Passo 5

Agora, podemos simplificar a expressão X = B^-1 A^-1 (I + A) A B sabendo que X = B^-1 A^-1 I A B + B^-1 A^-1 A A B :
X = B^-1 A^-1 A B + B^-1 A^-1 A^2 B
Distribuindo a multiplicação dentro da expressão:
X = B^-1 B + B^-1 A B
Simplificando X = I + B^-1 A B :
E como :

Resposta

A solução para X = I + B^-1 A B é:

Exercícios relacionados

Se A^-1=(ll3 & 2 1 & 3) e B^-1=(cc2 & 3 1 & -2), encontre, caso possível, (A+B)^-1 e (A B)^-1.
A inversa de uma matriz invertível simétrica é sempre simétrica? Explique ou prove.
Encontre os valores de t para os quais A é invertível.
(a) A=(ccct & -t & 3 0 & t+1 & 1 t & -8 & t-1)
Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
© (A^-1 X)^-1=A(B^-2 A)^-1