Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
© (A^-1 X)^-1=A(B^-2 A)^-1

Passo 1

Aqui a gente tem uma equação envolvendo matrizes e precisamos resolver para a matriz . O conteúdo principal é Álgebra Linear, especificamente operações com matrizes inversas. Vamos precisar usar propriedades de inversão de matrizes e regras de manipulação de equações matriciais.

Passo 2

A equação dada é:
(A^-1 X)^-1 = A(B^-2 A)^-1
Primeiro, vamos lembrar que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz. Ou seja, .

Passo 3

Substituindo essa propriedade na equação, temos:
X^-1 A = A(B^-2 A)^-1
Agora, para isolar , vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de , que é .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por A^-1 X^-1 A = A^-1 A(B^-2 A)^-1 :
A^-1 X^-1 A = (B^-2 A)^-1
Sabemos que (matriz identidade), então simplificamos para:

Passo 5

Agora, vamos resolver X^-1 A = A (B^-2 A)^-1 A^-1 . Multiplicando ambos os lados pela inversa de X^-1 = A (B^-2 A)^-1 A^-1 , que é :
Mas para simplificar melhor, podemos diretamente expressar isoladamente:

Passo 6

Agora, para encontrar X = [A (B^-2 A)^-1 A^-1]^-1 , precisamos inverter ambos os lados da equação. Lembrando que X = A (B^-2 A) A^-1 :
Aplicando a propriedade de inversão de produtos, temos:

Passo 7

Simplificando a expressão, observamos que X = B^-2 A cdot A^-1 = B^-2 I = B^-2 , então:

Resposta

X = B^-2

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