Encontre os valores de t para os quais A é invertível.
(a) A=(ccct & -t & 3 0 & t+1 & 1 t & -8 & t-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar os valores de para os quais a matriz é invertível. Isso está relacionado ao conteúdo de matrizes e determinantes. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o determinante da matriz e descobrir para quais valores de esse determinante é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, precisamos calcular o determinante de A = t & -t & 3 0 & t+1 & 1 t & -8 & t-1 . A matriz dada é:

Passo 3

Para calcular o determinante dessa matriz 3x3, vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus porque ela é mais rápida para matrizes 3x3. A regra de Sarrus diz que:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = t cdot [(t+1)(t-1) - (1)(-8)] - (-t) cdot [0 cdot (t-1) - (1)(t)] + 3 cdot [0 cdot (-8) - (t+1)(t)]

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
t cdot [(t+1)(t-1) - (1)(-8)] = t cdot [(t^2 -1) + 8] = t cdot (t^2 +7) = t^3 +7t
  1. Segundo termo:
-(-t) cdot [0 cdot (t-1) - 1 cdot t] = t cdot [0 - t] = -t^2
  1. Terceiro termo:
3 cdot [0 cdot (-8) - (t+1)t] = 3 cdot [0 - t^2 - t] = 3 cdot (-t^2 - t) = -3t^2 -3t
Agora, somando tudo:
det(A) = t^3 +7t - t^2 -3t^2 -3t = t^3 -4t^2 +4t

Passo 5

Agora que temos o determinante:
det(A) = t^3 -4t^2 +4t
Para encontrar quando a matriz t^3 -4t^2 +4t neq 0 é invertível, precisamos que t(t^2 -4t +4) = t(t-2)^2 neq 0 :
Fatorando:
Isso significa que e .

Resposta

A matriz é invertível para todos os valores de exceto e . Ou seja, com e .

Exercícios relacionados

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(d) ABXA^-1 B^-1=I+A.
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