Resolva as Equação de Ricatti
Calcular a solução da equação d/dx y = (1/x) y^2 - 2(1 - 1/x) y + x - 1 sabendo que y = x é solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação de Riccatti, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. A equação que temos é:
Além disso, sabemos que é uma solução particular dessa equação. Para resolver, vamos utilizar essa solução particular e transformar a equação de Riccatti em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma Equação de Riccatti tem a forma geral:
Nesse caso, identificamos:
Como sabemos uma solução particular , podemos fazer uma substituição para simplificar a equação.

Passo 3

Vamos assumir que a solução geral pode ser escrita como:
Onde é uma função que vamos determinar. Substituindo , temos:
Essa substituição vai transformar nossa equação original em uma equação para .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de :
Substituindo e na equação original:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Explicando um pouco de teoria aqui: ao fazer essa substituição, a equação de Riccatti se transforma em uma equação linear em termos de . Após simplificar, conseguimos isolar .
Após simplificações (que envolvem expandir os termos quadráticos e agrupar os termos), chegamos a uma equação linear para :
Onde e são funções de que encontramos após simplificar.

Passo 6

Agora, resolvemos essa equação linear usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por e integramos ambos os lados para encontrar . Depois de encontrar , substituímos de volta na expressão para :
Isso nos dá a solução geral da equação de Riccatti.

Resposta

A solução geral da equação dada é:
Onde é o fator integrante determinado durante a resolução e é a constante de integração.

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