Resolva as Equação de Ricatti
Calcular a solução da equação
sabendo que
é solução particular.
Calcular a solução da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação de Riccatti, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. A equação que temos é:
Além disso, sabemos que
é uma solução particular dessa equação. Para resolver, vamos utilizar essa solução particular e transformar a equação de Riccatti em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma Equação de Riccatti tem a forma geral:
Nesse caso, identificamos:
Como sabemos uma solução particular
, podemos fazer uma substituição para simplificar a equação.
Passo 3
Vamos assumir que a solução geral
pode ser escrita como:
Onde
é uma função que vamos determinar. Substituindo
, temos:
Essa substituição vai transformar nossa equação original em uma equação para
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Substituindo
e
na equação original:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Explicando um pouco de teoria aqui: ao fazer essa substituição, a equação de Riccatti se transforma em uma equação linear em termos de
. Após simplificar, conseguimos isolar
.
Após simplificações (que envolvem expandir os termos quadráticos e agrupar os termos), chegamos a uma equação linear para
:
Onde
e
são funções de
que encontramos após simplificar.
Passo 6
Agora, resolvemos essa equação linear usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
e integramos ambos os lados para encontrar
. Depois de encontrar
, substituímos de volta na expressão para
:
Isso nos dá a solução geral da equação de Riccatti.
Resposta
A solução geral da equação dada é:
Onde
é o fator integrante determinado durante a resolução e
é a constante de integração.