Resolva as Equação de Ricatti
Mostrar que
é solução particular da equação
e calcular a sua solução geral.
Mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação de Riccati, que é um tipo de equação diferencial não linear. A equação que temos é:
Além disso, precisamos mostrar que
é uma solução particular dessa equação e, depois, encontrar a solução geral. Vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e técnicas para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é de fato uma solução da equação. Para isso, substituímos
e sua derivada na equação original.
Calculando a derivada de
:
Agora, substituindo na equação:
Como a igualdade é verdadeira,
é realmente uma solução particular da equação.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação. Sabemos que uma solução particular já nos ajuda a simplificar o processo. Vamos usar a substituição:
Onde
e
é uma nova função que vamos determinar.
Substituindo
na equação original:
Passo 4
Vamos calcular a derivada do lado esquerdo:
E expandir o lado direito:
Substituindo tudo na equação:
Simplificando:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Reescrevendo:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
Identificamos os termos:
Calculando o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso transforma a equação em:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos
:
Podemos simplificar a constante
para uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações homogêneas abaixo:
Resolva as equações homogêneas abaixo:
Resolva as Equação de Ricatti
Calcular a solução da equação sabendo que
é solução particular.
Calcular a solução da equação
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.