Resolva as Equação de Ricatti
Mostrar que é solução particular da equação e calcular a sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação de Riccati, que é um tipo de equação diferencial não linear. A equação que temos é:
Além disso, precisamos mostrar que é uma solução particular dessa equação e, depois, encontrar a solução geral. Vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e técnicas para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é de fato uma solução da equação. Para isso, substituímos e sua derivada na equação original.
Calculando a derivada de :
Agora, substituindo na equação:
Como a igualdade é verdadeira, é realmente uma solução particular da equação.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação. Sabemos que uma solução particular já nos ajuda a simplificar o processo. Vamos usar a substituição:
Onde e é uma nova função que vamos determinar.
Substituindo na equação original:

Passo 4

Vamos calcular a derivada do lado esquerdo:
E expandir o lado direito:
Substituindo tudo na equação:
Simplificando:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Reescrevendo:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 6

Identificamos os termos:
Calculando o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :
Isso transforma a equação em:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos :
Podemos simplificar a constante para uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação é:

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