Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
seny
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial exata
. Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Exatas, que são aquelas que podem ser escritas na forma
e satisfazem a condição de exatidão. Para resolver, precisamos encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Primeiro, identificamos
e
. A condição de exatidão exige que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos verificar:
Como
, significa que a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
. Suponha que
seja esse fator. Multiplicamos a equação original por
:
Agora, a nova condição de exatidão será:
Ou seja:
Passo 4
Resolvendo a equação para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso é uma equação diferencial linear para
. Integrando ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então
.
Passo 5
Multiplicando a equação original por
:
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função potencial
.
Passo 6
Integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então, a função potencial é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é
. Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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