Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
seny

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial exata . Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Exatas, que são aquelas que podem ser escritas na forma e satisfazem a condição de exatidão. Para resolver, precisamos encontrar uma função potencial tal que .

Passo 2

Primeiro, identificamos e . A condição de exatidão exige que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a . Vamos verificar:
Como , significa que a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de . Suponha que seja esse fator. Multiplicamos a equação original por :
Agora, a nova condição de exatidão será:
Ou seja:

Passo 4

Resolvendo a equação para :
Dividindo ambos os lados por :
Isso é uma equação diferencial linear para . Integrando ambos os lados:
Podemos escolher para simplificar, então .

Passo 5

Multiplicando a equação original por :
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função potencial .

Passo 6

Integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então, a função potencial é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é . Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
Resolva as Equação de Ricatti
Calcular a solução da equação sabendo que é solução particular.
Resolva as equações homogêneas abaixo:
Resolva as equações homogêneas abaixo:
Determine a solução de sujeita a condição inicial