Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é homogênea: . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais e, mais especificamente, vamos usar o método de substituição para resolver equações homogêneas. Para isso, vamos precisar manipular a equação para torná-la separável e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que estamos lidando. Podemos reorganizar os termos assim:
Agora, dividindo ambos os lados por , temos:
Passo 3
Como a equação é homogênea, uma boa estratégia é fazer uma substituição. Vamos definir . Isso significa que e, ao derivar ambos os lados em relação a , temos:
Passo 4
Substituindo e na equação original:
Simplificando os termos:
Dividindo ambos os lados por :
Passo 5
Expandindo o lado direito:
Levantando todos os termos para um lado:
Simplificando:
Passo 6
Vamos separar as variáveis e . Dividindo ambos os lados por e dividindo ambos os lados por :
Então, rearranjando para separar as variáveis:
Passo 7
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Podemos fazer uma divisão polinomial:
Então, a equação fica:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Passo 9
Lembrando que substituímos , vamos substituir de volta: