Resolva as equações homogêneas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é homogênea: . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais e, mais especificamente, vamos usar o método de substituição para resolver equações homogêneas. Para isso, vamos precisar manipular a equação para torná-la separável e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que estamos lidando. Podemos reorganizar os termos assim:
Agora, dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Como a equação é homogênea, uma boa estratégia é fazer uma substituição. Vamos definir . Isso significa que e, ao derivar ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Simplificando os termos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Expandindo o lado direito:
Levantando todos os termos para um lado:
Simplificando:

Passo 6

Vamos separar as variáveis e . Dividindo ambos os lados por e dividindo ambos os lados por :
Então, rearranjando para separar as variáveis:

Passo 7

Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Podemos fazer uma divisão polinomial:
Então, a equação fica:

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados:
Resolvendo as integrais:

Passo 9

Lembrando que substituímos , vamos substituir de volta:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Mostrar que é solução particular da equação e calcular a sua solução geral.