Resolva equaçãoes exatos:
b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial exata. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde a gente procura encontrar funções que satisfaçam certas relações. Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função potencial que a resolva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação dada é:
Aqui, temos duas funções:
Para saber se a equação é exata, vamos verificar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, precisamos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos começar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Simplificando, temos:
Então, . Integrando isso:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, juntando tudo, a função potencial é:
Como a equação é igual a zero, temos:
Portanto:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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c) .
Desenhe o campo vetorial gradiente de juntamente com um mapa de contorno de . Explique como eles estão relacionados entre si.
Resolva equaçãoes exatos:
e) .
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d) .