Resolva equaçãoes exatos:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial exata. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde a gente procura encontrar funções que satisfaçam certas relações. Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função potencial que a resolva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação dada é:
Aqui, temos duas funções:
Para saber se a equação é exata, vamos verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, precisamos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Simplificando, temos:
Então,
. Integrando isso:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a função potencial é:
Como a equação é igual a zero, temos:
Portanto:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Resolva equaçãoes exatos:
c) .
c)
Desenhe o campo vetorial gradiente de
juntamente com um mapa de contorno de
. Explique como eles estão relacionados entre si.
Resolva equaçãoes exatos:
e) .
e)
Resolva equaçãoes exatos:
d) .
d)