Desenhe o campo vetorial gradiente de
juntamente com um mapa de contorno de
. Explique como eles estão relacionados entre si.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenhar o campo vetorial gradiente da função
junto com um mapa de contorno de
. Isso envolve entender o que é um campo gradiente e um mapa de contorno, além de saber como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Para encontrar o gradiente da nossa função
, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Então, o gradiente de
é:
Esse vetor nos mostra a direção onde
cresce mais rapidamente em cada ponto
.
Passo 6
Agora, vamos falar sobre o mapa de contorno. Um mapa de contorno de
é um gráfico que mostra as curvas onde
é constante. Essas curvas são chamadas de curvas de nível. No nosso caso, cada curva de nível
satisfaz a equação:
Podemos simplificar isso para:
Isso representa uma família de elipses no plano
.
Passo 7
Agora, para desenhar o campo gradiente junto com o mapa de contorno, siga estes passos:
- Desenhe as curvas de nível: Escolha vários valores de
e desenhe as elipses correspondentes. - Adicione os vetores gradiente: Em vários pontos
do plano, desenhe vetores que seguem a direção de calculado anteriormente. - Observe a relação: Note que os vetores gradiente são sempre perpendiculares às curvas de nível. Isso ocorre porque o gradiente aponta na direção de maior crescimento, enquanto as curvas de nível são onde a função não muda, ou seja, crescimento zero.
Resposta
O campo vetorial gradiente de
consiste em vetores
que são perpendiculares às curvas de nível no mapa de contorno de
. Isso significa que os vetores gradiente apontam na direção de maior aumento de
e são sempre ortogonais às elipses que formam as curvas de nível.
Exercícios relacionados
Determine o campo vetorial gradiente
.
Desenhe o campo vetorial gradiente de
juntamente com um mapa de contorno de
. Explique como eles estão relacionados entre si.
Resolva equaçãoes exatos:
c) .
c)
Resolva equaçãoes exatos:
b) .
b)