Desenhe o campo vetorial gradiente de juntamente com um mapa de contorno de . Explique como eles estão relacionados entre si.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenhar o campo vetorial gradiente da função junto com um mapa de contorno de . Isso envolve entender o que é um campo gradiente e um mapa de contorno, além de saber como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Para encontrar o gradiente da nossa função , precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Então, o gradiente de é:
Esse vetor nos mostra a direção onde cresce mais rapidamente em cada ponto .

Passo 6

Agora, vamos falar sobre o mapa de contorno. Um mapa de contorno de é um gráfico que mostra as curvas onde é constante. Essas curvas são chamadas de curvas de nível. No nosso caso, cada curva de nível satisfaz a equação:
Podemos simplificar isso para:
Isso representa uma família de elipses no plano .

Passo 7

Agora, para desenhar o campo gradiente junto com o mapa de contorno, siga estes passos:
  1. Desenhe as curvas de nível: Escolha vários valores de e desenhe as elipses correspondentes.
  2. Adicione os vetores gradiente: Em vários pontos do plano, desenhe vetores que seguem a direção de calculado anteriormente.
  3. Observe a relação: Note que os vetores gradiente são sempre perpendiculares às curvas de nível. Isso ocorre porque o gradiente aponta na direção de maior crescimento, enquanto as curvas de nível são onde a função não muda, ou seja, crescimento zero.

Resposta

O campo vetorial gradiente de consiste em vetores que são perpendiculares às curvas de nível no mapa de contorno de . Isso significa que os vetores gradiente apontam na direção de maior aumento de e são sempre ortogonais às elipses que formam as curvas de nível.

Exercícios relacionados

Determine o campo vetorial gradiente .
Desenhe o campo vetorial gradiente de juntamente com um mapa de contorno de . Explique como eles estão relacionados entre si.
Resolva equaçãoes exatos:
c) .
Resolva equaçãoes exatos:
b) .