Resolva equaçãoes exatos:
c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me mandou:
Esse tipo de problema está dentro do estudo das equações diferenciais exatas na matéria de Cálculo. Para resolver, a gente vai precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se:
Aqui, temos:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculando :
Perceba que pode ser simplificado usando a identidade trigonom��trica :

Passo 4

Agora, comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 5

Vamos encontrar essa função . Integrando em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Rearranjando os termos:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Isso simplifica para:
ou seja,

Passo 7

Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos na expressão de :
Podemos simplificar isso para obter a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

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Desenhe o campo vetorial gradiente de juntamente com um mapa de contorno de . Explique como eles estão relacionados entre si.
Determine o campo vetorial gradiente .
Resolva equaçãoes exatos:
b) .
Resolva equaçãoes exatos:
e) .