Resolva equaçãoes exatos:
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me mandou:
Esse tipo de problema está dentro do estudo das equações diferenciais exatas na matéria de Cálculo. Para resolver, a gente vai precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
Aqui, temos:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Perceba que
pode ser simplificado usando a identidade trigonom��trica
:
Passo 4
Agora, comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 5
Vamos encontrar essa função
. Integrando
em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Rearranjando os termos:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Isso simplifica para:
ou seja,
Passo 7
Integrando
em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão de
:
Podemos simplificar isso para obter a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Desenhe o campo vetorial gradiente de
juntamente com um mapa de contorno de
. Explique como eles estão relacionados entre si.
Determine o campo vetorial gradiente
.
Resolva equaçãoes exatos:
b) .
b)
Resolva equaçãoes exatos:
e) .
e)