Resolva equaçãoes exatos:
e) (x^2 + y^2 + x) dx + y dy = 0.
f) x + seny d x + (x cos y + seny dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item e) da seguinte equação diferencial exata:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dará a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e que estão multiplicando e respectivamente:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , e ver se elas são iguais.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de ou apenas de . Vamos supor que o fator integrante depende apenas de . A condição para isso é:
Substituindo os valores que já temos:
Integramos ambos os lados:

Passo 5

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Agora, definimos:
Agora, verificamos novamente se a equação é exata:
Parece complicado, então vamos direto para encontrar a função potencial .

Passo 6

Para encontrar , integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, vemos que deve compensar os termos extras, mas para simplificação, assumimos que é constante.

Passo 7

Agora, vamos resolver o item f) da equação diferencial exata:
Mais uma vez, estamos lidando com equações diferenciais exatas, então nosso objetivo é verificar se a equação é exata e encontrar a função potencial correspondente.

Passo 8

Identificamos as funções e :
Vamos verificar se a equação é exata calculando as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 9

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 10

Para encontrar a função potencial , integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, vemos que:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante de integração.

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