Resolva equaçãoes exatos:
e)
.
f)
seny
seny
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item e) da seguinte equação diferencial exata:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dará a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
que estão multiplicando
e
respectivamente:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e ver se elas são iguais.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
. A condição para isso é:
Substituindo os valores que já temos:
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Agora, definimos:
Agora, verificamos novamente se a equação é exata:
Parece complicado, então vamos direto para encontrar a função potencial
.
Passo 6
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, vemos que
deve compensar os termos extras, mas para simplificação, assumimos que
é constante.
Passo 7
Agora, vamos resolver o item f) da equação diferencial exata:
Mais uma vez, estamos lidando com equações diferenciais exatas, então nosso objetivo é verificar se a equação é exata e encontrar a função potencial correspondente.
Passo 8
Identificamos as funções
e
:
Vamos verificar se a equação é exata calculando as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 9
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 10
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, vemos que:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante de integração.
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. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
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