Um tanque contém 40 galões de água pura. Salmoura com 3 libras de sal por galão flui para dentro à taxa de 2 galões por minuto, e a mistura agitada flui para fora à taxa de 3 galões por minuto.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um tanque com 40 galões de água pura. Salmoura, que é uma mistura de água com sal, está entrando no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto, com concentração de 3 libras de sal por galão. Ao mesmo tempo, a mistura do tanque está saindo a uma taxa de 3 galões por minuto.
Matéria envolvida: Este problema envolve taxas de variação e mistura, que geralmente usamos em equações diferenciais para modelar como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo.
O que vamos precisar:
  • Entender como montar uma equação que representa a quantidade de sal no tanque ao longo do tempo.
  • Saber resolver a equação diferencial resultante para encontrar a quantidade de sal em qualquer momento.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que queremos encontrar. Vamos denotar por a quantidade de sal no tanque em libras no instante (em minutos).
Estado inicial: No começo, o tanque tem água pura, ou seja, libras de sal.

Passo 3

Agora, vamos analisar as taxas de entrada e saída de sal:
  • Entrada de sal:
    • A salmoura que entra tem 3 libras de sal por galão.
    • Está entrando a 2 galões por minuto.
    • Então, a taxa de entrada de sal é .
  • Saída de sal:
    • A mistura está saindo a 3 galões por minuto.
    • A concentração de sal na mistura do tanque é , onde é o volume de água no tanque no tempo .
    • Precisamos encontrar para determinar a concentração.

Passo 4

Vamos primeiro encontrar , o volume no tanque ao longo do tempo.
  • Taxa de entrada de volume: 2 galões por minuto.
  • Taxa de saída de volume: 3 galões por minuto.
  • Variação de volume: í.
Isso significa que o volume diminui a 1 galão por minuto.
Como o volume inicial é 40 galões:

Passo 5

Agora, vamos voltar à taxa de saída de sal. A concentração de sal na mistura é , então a taxa de saída de sal é:
í

Passo 6

Montamos a equação diferencial que descreve a taxa de variação do sal no tanque:
í

Passo 7

Para resolver essa equação diferencial, vamos reescrevê-la:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o fator integrante.

Passo 8

Calculando o fator integrante :

Passo 9

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:

Passo 10

Integrando ambos os lados:

Passo 11

Resolvendo para :

Passo 12

Aplicando a condição inicial :

Passo 13

Substituindo na solução geral:

Passo 14

Resposta Final:
A quantidade de sal no tanque no instante é dada por:

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