Um tanque contém 40 galões de água pura. Salmoura com 3 libras de sal por galão flui para dentro à taxa de 2 galões por minuto, e a mistura agitada flui para fora à taxa de 3 galões por minuto.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um tanque com 40 galões de água pura. Salmoura, que é uma mistura de água com sal, está entrando no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto, com concentração de 3 libras de sal por galão. Ao mesmo tempo, a mistura do tanque está saindo a uma taxa de 3 galões por minuto.
Matéria envolvida: Este problema envolve taxas de variação e mistura, que geralmente usamos em equações diferenciais para modelar como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo.
O que vamos precisar:
- Entender como montar uma equação que representa a quantidade de sal no tanque ao longo do tempo.
- Saber resolver a equação diferencial resultante para encontrar a quantidade de sal em qualquer momento.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que queremos encontrar. Vamos denotar por
a quantidade de sal no tanque em libras no instante
(em minutos).
Estado inicial: No começo, o tanque tem água pura, ou seja,
libras de sal.
Passo 3
Agora, vamos analisar as taxas de entrada e saída de sal:
-
Entrada de sal:
- A salmoura que entra tem 3 libras de sal por galão.
- Está entrando a 2 galões por minuto.
- Então, a taxa de entrada de sal é
.
-
Saída de sal:
- A mistura está saindo a 3 galões por minuto.
- A concentração de sal na mistura do tanque é
, onde é o volume de água no tanque no tempo . - Precisamos encontrar
para determinar a concentração.
Passo 4
Vamos primeiro encontrar
, o volume no tanque ao longo do tempo.
- Taxa de entrada de volume: 2 galões por minuto.
- Taxa de saída de volume: 3 galões por minuto.
- Variação de volume:
.
Isso significa que o volume diminui a 1 galão por minuto.
Como o volume inicial é 40 galões:
Passo 5
Agora, vamos voltar à taxa de saída de sal. A concentração de sal na mistura é
, então a taxa de saída de sal é:
Passo 6
Montamos a equação diferencial que descreve a taxa de variação do sal no tanque:
Passo 7
Para resolver essa equação diferencial, vamos reescrevê-la:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o fator integrante.
Passo 8
Calculando o fator integrante
:
Passo 9
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Passo 11
Resolvendo para
:
Passo 12
Aplicando a condição inicial
:
Passo 13
Substituindo
na solução geral:
Passo 14
Resposta Final:
A quantidade de sal no tanque no instante é dada por:
A quantidade de sal no tanque no instante
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Encontre a curvatura em
da curva
Resolva equaçãoes exatos:
e) .
f) seny
seny
e)
f)
Encontre as equações simétrica e paramétrica da reta que passa pelos pontos
e
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada por
(a)
(b)
(a)
(b)