Resolva equaçãoes exatos:
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial exata. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente nas aulas de Equações Diferenciais. Pra resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. A gente tem:
Esses são os coeficientes que acompanham
e
respectivamente.
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como
, a equação é realmente exata.
Passo 4
Agora que confirmamos que é uma equação exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Para isso, integramos
em rela�o a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Os termos com
se cancelam, sobrando:
Passo 6
Agora, integramos
em relação a
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Como a solução geral da equação exata é
, temos:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
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