Resolva equaçãoes exatos:

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial exata. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente nas aulas de Equações Diferenciais. Pra resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. A gente tem:
Esses são os coeficientes que acompanham e respectivamente.

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como , a equação é realmente exata.

Passo 4

Agora que confirmamos que é uma equação exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Para isso, integramos em rela�o a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Os termos com se cancelam, sobrando:

Passo 6

Agora, integramos em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos na expressão de :
Como a solução geral da equação exata é , temos:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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.