Resolva equaçãoes linear:
2 x (x^2 + y) dx = dy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver uma equação diferencial linear:
2 x (x^2 + y) dx = dy
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e fator integrante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:

Passo 4

A equação ficou na forma:
Isso é uma equação diferencial linear do primeiro grau na variável y.

Passo 5

Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante. Primeiro, identificamos . O fator integrante mu(x) é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a x:
Para resolver a integral, usamos substituição. Seja , então .

Passo 8

A integral se torna:
Sabemos que , onde é a função erro.

Passo 9

Então, a solução geral é:

Passo 10

Finalmente, isolando y:

Resposta

A solução geral da equação é:

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