Resolva equaçãoes exatos:
. equação Bernulli

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial , que é uma Equação de Bernoulli. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar uma técnica específica que transforma a equação original em uma equação linear, facilitando assim a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Equação de Bernoulli. É uma equação diferencial da forma:
onde e são funções de , e é um número real. No nosso caso, temos:
Aqui, , , e .

Passo 3

Para resolver a equação de Bernoulli, vamos fazer uma substituição que transforma a equação original em uma equação linear. Definimos uma nova variável da seguinte forma:
Agora, derivamos em relação a :
Vamos rearranjar a equação original para expressar :
Substituindo na expressão de :
Então, temos uma equação linear para :

Passo 4

Agora, resolvemos a equação linear:
Primeiro, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então, resolvemos para :

Passo 5

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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.
Calcule , com .