Resolva equaçãoes exatos:
. equação Bernulli
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial
, que é uma Equação de Bernoulli. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar uma técnica específica que transforma a equação original em uma equação linear, facilitando assim a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Equação de Bernoulli. É uma equação diferencial da forma:
onde
e
são funções de
, e
é um número real. No nosso caso, temos:
Aqui,
,
, e
.
Passo 3
Para resolver a equação de Bernoulli, vamos fazer uma substituição que transforma a equação original em uma equação linear. Definimos uma nova variável
da seguinte forma:
Agora, derivamos
em relação a
:
Vamos rearranjar a equação original para expressar
:
Substituindo na expressão de
:
Então, temos uma equação linear para
:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação linear:
Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então, resolvemos para
:
Passo 5
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.