Usando o critério de linhas, verifique para que valores de se tem garantia de que o método de Gauss-Jacobi vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares e quer saber para quais valores de o método de Gauss-Jacobi vai funcionar direitinho, ou seja, vai convergir para a solução. A gente vai usar o critério das linhas, que ajuda a verificar essa convergência. Para isso, precisamos analisar a matriz dos coeficientes do sistema e ver como os elementos se comportam em relação à diagonal principal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. O sistema é:
A matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o critério das linhas, que diz que o método de Gauss-Jacobi converge se, em cada linha da matriz , a soma dos valores absolutos dos coeficientes fora da diagonal principal for menor que o valor absoluto do coeficiente da diagonal principal.
Ou seja, para cada linha :
Passo 4
Vamos calcular isso linha por linha.
Primeira linha:
Segunda linha:
Isso implica:
Ou seja, .
Terceira linha:
Isso implica:
Ou seja, .
Passo 5
Agora, juntando as condições das três linhas:
Primeira linha sempre satisfaz (0,75 < 1).
Segunda linha: .
Terceira linha: .
Para que todas as condições sejam satisfeitas ao mesmo tempo, precisa ser tal que . Isso significa que está entre -4 e -2 ou entre 2 e 4.