Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa equação envolve funções homogêneas, então a gente vai usar esse conceito para resolver. Precisamos identificar se a equação é homogênea ou quase homogênea e, a partir daí, aplicar a substituição certa para simplificar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Vamos dividir tudo por para isolar :
Isso nos dá:
Agora, a gente vê que essa equação pode ser simplificada usando a substituição . Isso porque tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas de mesmo grau.

Passo 3

Vamos definir . Então, e a derivada fica:
Substituindo isso na equação original, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Então:

Passo 5

Essa equação está separável, ou seja, dá para separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar os dois lados.

Passo 6

Integrando o lado esquerdo:
Fazendo a substituição , temos , então:
Integrando o lado direito:

Passo 7

Igualando as integrais:
Multiplicando tudo por 3:
Aplicando a exponenciação:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por :
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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