Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa equação envolve funções homogêneas, então a gente vai usar esse conceito para resolver. Precisamos identificar se a equação é homogênea ou quase homogênea e, a partir daí, aplicar a substituição certa para simplificar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Vamos dividir tudo por
para isolar
:
Isso nos dá:
Agora, a gente vê que essa equação pode ser simplificada usando a substituição
. Isso porque tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas de mesmo grau.
Passo 3
Vamos definir
. Então,
e a derivada
fica:
Substituindo isso na equação original, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Então:
Passo 5
Essa equação está separável, ou seja, dá para separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar os dois lados.
Passo 6
Integrando o lado esquerdo:
Fazendo a substituição
, temos
, então:
Integrando o lado direito:
Passo 7
Igualando as integrais:
Multiplicando tudo por 3:
Aplicando a exponenciação:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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