Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa equação é do tipo funcional homogênea. Para resolver, vamos utilizar a substituição que simplifica equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação é homogênea porque todos os termos têm o mesmo grau. O grau de cada termo em e é 4:
  • tem grau 4,
  • tem grau 4,
  • tem grau 4,
  • tem grau 4.

Passo 3

Como a equação é homogênea, fazemos a substituição . Assim, . Derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Dividimos todos os termos por para simplificar:
Expandindo:
Reorganizando:

Passo 6

Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:

Passo 7

Resolvemos a integral do lado esquerdo. Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Após realizar a integração, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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