Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa equação é do tipo funcional homogênea. Para resolver, vamos utilizar a substituição que simplifica equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação é homogênea porque todos os termos têm o mesmo grau. O grau de cada termo em
e
é 4:
-
tem grau 4, -
tem grau 4, -
tem grau 4, -
tem grau 4.
Passo 3
Como a equação é homogênea, fazemos a substituição
. Assim,
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Dividimos todos os termos por
para simplificar:
Expandindo:
Reorganizando:
Passo 6
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Resolvemos a integral do lado esquerdo. Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Após realizar a integração, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Substituindo
de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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