Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve funções homogêneas e quase homogêneas. Nosso objetivo é resolver a equação . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações homogêneas e como fazer substituições para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato que facilita a análise. Vamos reescrever a equação assim:
Isso nos ajuda a identificar que estamos lidando com uma equação diferencial do tipo , que é típica das equações homogêneas.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é realmente homogênea. Uma função é homogênea de grau se, ao multiplicarmos e por um mesmo fator , a função se multiplica por .
No nosso caso:
  • é de grau 1.
  • é de grau .
  • O denominador é de grau 1.
Então, a função é homogênea de grau 0, o que confirma que podemos usar a substituição .

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Isso significa que .
Agora, precisamos derivar em relação a :
Substituindo na nossa equação original:

Passo 5

Simplificando a equação:
Cancelamos o dos dois lados:
Isso nos deixa com uma equação mais simples para resolver.

Passo 6

Vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Lembrando que , então:

Passo 8

Finalmente, resolvendo para :
Podemos simplificar a constante para :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

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