Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve funções homogêneas e quase homogêneas. Nosso objetivo é resolver a equação
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações homogêneas e como fazer substituições para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato que facilita a análise. Vamos reescrever a equação assim:
Isso nos ajuda a identificar que estamos lidando com uma equação diferencial do tipo
, que é típica das equações homogêneas.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é realmente homogênea. Uma função
é homogênea de grau
se, ao multiplicarmos
e
por um mesmo fator
, a função se multiplica por
.
No nosso caso:
-
é de grau 1. -
é de grau . - O denominador
é de grau 1.
Então, a função
é homogênea de grau 0, o que confirma que podemos usar a substituição
.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Isso significa que
.
Agora, precisamos derivar
em relação a
:
Substituindo na nossa equação original:
Passo 5
Simplificando a equação:
Cancelamos o
dos dois lados:
Isso nos deixa com uma equação mais simples para resolver.
Passo 6
Vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Lembrando que
, então:
Passo 8
Finalmente, resolvendo para
:
Podemos simplificar a constante
para
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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