Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo equações com variáveis separáveis. A equação que temos é:
Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa separar as variáveis (ou seja, colocar todas as de um lado e todas as do outro) e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Vamos subtrair de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar isolado:

Passo 3

A próxima etapa é separar as variáveis e . Vamos multiplicar ambos os lados por e multiplicar por :
Agora, vamos rearrumar para ter todos os termos com de um lado e com do outro:

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A gente integra em relação a no lado esquerdo e em relação a no lado direito:
Vamos resolver cada integral:
Integral do lado esquerdo:
Essa integral é um pouco complicada por causa da presença de , mas vamos tratar como constante em relação a :
Sabemos que:
Aqui, :
Simplificando:
Integral do lado direito:

Passo 5

Agora igualamos as integrais:
Podemos resolver para se quisermos uma solução explícita, mas geralmente deixa-se dessa forma com a constante .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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