Resolva as equações: c y'' + 2 y' + y = 4 e^x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Nesta questão, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa equação é chamada de homogênea porque o lado direito é igual a zero.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Encontramos uma raiz dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação original . Observando o lado direito , fazemos uma suposição de que a solução particular tem a forma , onde é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Dividindo por :
Portanto, a solução particular é .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Use uma tabela para calcular L{f(t)} :
f(t)=(1+e^t)^2.
Determine uma representaçăo parametrizada para a superficie.
A parte do hiperboloide eliptico y = 6 - 3 x^2 - 2 z^2 que está a direita do plano x z
Encontre F(s) ou f(t).
a) Lt^3 e^-2 t
b) Le^-2 t cos 4 t
c) Lt(e^t+e^2 t)^2
d) Le^2 t(t-1)^2
e) Le^-t sen^2 t f) Lt e^2 t sen 6 t
g) L(t-1) mho(t-1)
h) Lsent mho(t-pi2)
i) Lt e^t-5 mho(t-5) j) L^-1e^-pi ss^2+1
l) L^-1s e^-pi s2s^2+4 m) L^-1s+1(s^2+2 s+2)^2
n) L^-1(1+e^-2 s)^2s+2
o) L^-1e^-2 ss^2(s-1)
Determine a área da parte da superfície z = x + y^2 que estâ acima do triângulo com vértices (0,0), (1,1) e 0,1.