Determine a área da parte da superfície que estâ acima do triângulo com vértices e .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de área de superfícies. O problema pede para determinar a área da parte da superfície definida pela equação que está acima de um triângulo com vértices em , e .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração dupla para calcular a área de uma superfície parametrizada. Vamos também usar derivadas parciais para encontrar a expressão que será integrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma superfície dada por sobre uma região no plano . A fórmula para a área da superfície é:
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
Agora, precisamos descrever a região que é o triângulo com vértices em , e . Vamos determinar os limites de integração para e .
Observando o triângulo:
varia de 0 a 1.
Para cada valor de , varia de 0 até a linha que liga a , que é .
Portanto, os limites de integração são:
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla com esses limites:
Como a expressão não depende de , podemos simplificar a integração em :
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Faremos uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Substituindo na integral:
Integrando :
Calculando os limites:
Resposta
A área da parte da superfície que está acima do triângulo com vértices em , e é: