Determine a área da parte da superfície z = x + y^2 que estâ acima do triângulo com vértices (0,0), (1,1) e 0,1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de área de superfícies. O problema pede para determinar a área da parte da superfície definida pela equação que está acima de um triângulo com vértices em , e .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração dupla para calcular a área de uma superfície parametrizada. Vamos também usar derivadas parciais para encontrar a expressão que será integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma superfície dada por sobre uma região no plano . A fórmula para a área da superfície é:
Á
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Á

Passo 4

Agora, precisamos descrever a região que é o triângulo com vértices em , e . Vamos determinar os limites de integração para e .
Observando o triângulo:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 até a linha que liga a , que é .
Portanto, os limites de integração são:

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla com esses limites:
Á
Como a expressão não depende de , podemos simplificar a integração em :
Á

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
Faremos uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Substituindo na integral:
Integrando :
Calculando os limites:

Resposta

A área da parte da superfície que está acima do triângulo com vértices em , e é:
Áá

Exercícios relacionados

Encontre F(s) ou f(t).
a) Lt^3 e^-2 t
b) Le^-2 t cos 4 t
c) Lt(e^t+e^2 t)^2
d) Le^2 t(t-1)^2
e) Le^-t sen^2 t f) Lt e^2 t sen 6 t
g) L(t-1) mho(t-1)
h) Lsent mho(t-pi2)
i) Lt e^t-5 mho(t-5) j) L^-1e^-pi ss^2+1
l) L^-1s e^-pi s2s^2+4 m) L^-1s+1(s^2+2 s+2)^2
n) L^-1(1+e^-2 s)^2s+2
o) L^-1e^-2 ss^2(s-1)
Resolva as equações: c y'' + 2 y' + y = 4 e^x
Resolva as equações: b y'' + y = x^3 + 6
Resolva as equações: y'' - 4y' + 4y = 2e^(2x)