Resolva as equações:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que envolve logaritmos. A equação é:
Aqui, estamos lidando com logaritmos de diferentes bases (7 e 3). Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos, como a que relaciona a subtração de logaritmos com a divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
. Sabemos que qualquer logaritmo de base
de 1 é igual a 0, porque
.
Então,
Portanto, o lado esquerdo da equação é 0.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o lado direito da equação:
. Vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que a subtração de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo do quociente:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Agora, nossa equação ficou assim:
Para remover o logaritmo, lembramos que se
, então
. Portanto:
Passo 5
Vamos resolver essa fração:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Agora, vamos trazer tudo para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
Passo 7
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vou usar a fórmula de Bhaskara, onde
,
, e
.
Substituindo os valores:
Passo 8
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Passo 9
Precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto original da equação, especificamente dentro dos logaritmos, onde o argumento deve ser positivo.
Para
:
Para
:
Além disso,
é sempre positivo. Então ambas as soluções são válidas.
Resposta
As soluções da equação são
e
.
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