Resolva as equações:
(d) -3 log_7 1 = log_3 x^2 - log_3(2 x + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que envolve logaritmos. A equação é:
Aqui, estamos lidando com logaritmos de diferentes bases (7 e 3). Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos, como a que relaciona a subtração de logaritmos com a divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado esquerdo da equação: . Sabemos que qualquer logaritmo de base a de 1 é igual a 0, porque .
Então,
Portanto, o lado esquerdo da equação é 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o lado direito da equação: . Vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que a subtração de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo do quociente:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Agora, nossa equação ficou assim:
Para remover o logaritmo, lembramos que se , então . Portanto:

Passo 5

Vamos resolver essa fração:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Agora, vamos trazer tudo para um lado da equação para formar uma equação quadrática:

Passo 7

Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vou usar a fórmula de Bhaskara, onde , , e .
Substituindo os valores:

Passo 8

Isso nos dá duas soluções possíveis:

Passo 9

Precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto original da equação, especificamente dentro dos logaritmos, onde o argumento deve ser positivo.
Para :
Para :
Além disso, x^2 é sempre positivo. Então ambas as soluções são válidas.

Resposta

As soluções da equação são e .

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