Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(a) f(x) = log(x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função e determinar o domínio e a imagem dela. A gente vai usar conceitos de funções logarítmicas para entender como essa função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como estamos lidando com um logaritmo, temos que o que está dentro do logaritmo, ou seja, , precisa ser maior que zero. Então, resolvemos a desigualdade:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores que 2, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que pode assumir. A função logarítmica básica tem como imagem todos os números reais, porque, conforme aumenta, também aumenta sem limites, e conforme se aproxima de 0, tende a menos infinito. No nosso caso, a função é , que apenas desloca o gr��fico, mas não altera a imagem. Assim, a imagem também é , ou seja, todos os números reais.

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico da função . Sabemos que o gráfico da função tem algumas características:
  • Passa por porque .
  • Tende a menos infinito quando se aproxima de 0 pela direita.
  • Cresce sem limites quando aumenta.
No caso da nossa função , o gráfico vai ser deslocado para a direita em 2 unidades. Isso significa que:
  • A vertical assíntota, que antes estava em , agora estará em .
  • O ponto do gráfico original passa a ser .
  • O comportamento geral do gráfico permanece o mesmo, apenas movido para a direita.
Então, o esboço do gráfico terá uma vertical assíntota em , passará pelo ponto e seguirá subindo para a direita e descendo para a vertical assíntota.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem: (todos os números reais)
  • Esboço do Gráfico: Um gráfico de logaritmo deslocado 2 unidades para a direita, com uma assíntota vertical em , passando pelo ponto , subindo para a direita e descendo em direção à assíntota conforme se aproxima de 2 pela direita.

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