Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
e determinar o domínio e a imagem dela. A gente vai usar conceitos de funções logarítmicas para entender como essa função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como estamos lidando com um logaritmo, temos que o que está dentro do logaritmo, ou seja,
, precisa ser maior que zero. Então, resolvemos a desigualdade:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores que 2, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir. A função logarítmica básica
tem como imagem todos os números reais, porque, conforme
aumenta,
também aumenta sem limites, e conforme
se aproxima de 0,
tende a menos infinito. No nosso caso, a função é
, que apenas desloca o gr��fico, mas não altera a imagem. Assim, a imagem também é
, ou seja, todos os números reais.
Passo 4
Vamos agora esboçar o gráfico da função
. Sabemos que o gráfico da função
tem algumas características:
- Passa por
porque . - Tende a menos infinito quando
se aproxima de 0 pela direita. - Cresce sem limites quando
aumenta.
No caso da nossa função
, o gráfico vai ser deslocado para a direita em 2 unidades. Isso significa que:
- A vertical assíntota, que antes estava em
, agora estará em . - O ponto
do gráfico original passa a ser . - O comportamento geral do gráfico permanece o mesmo, apenas movido para a direita.
Então, o esboço do gráfico terá uma vertical assíntota em
, passará pelo ponto
e seguirá subindo para a direita e descendo para a vertical assíntota.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
(todos os números reais) - Esboço do Gráfico: Um gráfico de logaritmo deslocado 2 unidades para a direita, com uma assíntota vertical em
, passando pelo ponto , subindo para a direita e descendo em direção à assíntota conforme se aproxima de 2 pela direita.
Exercícios relacionados
Descreva como transformar o gráfico de
no gráfico da função dada.
(b)
(b)
Resolva as equações:
(d)
(d)
Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(f)
(f)
Resolva as equações:
(e)
(e)