Resolva as equações em diferenças, verificando sua solução:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação em diferenças
com a condição inicial
. Isso faz parte do estudo de equações em diferenças, que são como equações que relacionam termos sequenciais de uma sequência. Para resolver, vamos usar técnicas básicas de resolução de equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. Dividindo ambos os lados da equação por 2:
Isso facilita ver como cada termo seguinte depende do termo anterior.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução geral para essa equação. Ela é uma equação não homogênea linear de primeira ordem, que tem a forma
. A solução geral é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.
Passo 4
Primeiro, resolvemos a parte homogênea da equação, ou seja,
. A solução dessa parte é:
Aqui,
é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Em seguida, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o termo constante é 3, assumimos que a solução particular é uma constante
. Substituindo na equação:
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é
.
Passo 6
A solução geral é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
:
Resposta
A solução da equação em diferenças é:
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Resolva as equações em diferenças, verificando sua solução:
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Calcule as integrais abaixo.
$(b) .
$(b)
Resolva as equações em diferenças, verificando sua solução:
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