Resolva as equações em diferenças, verificando sua solução: y_{t+1} = y_{t} + 4 com y_{0} = 4.

Passo 1

Vamos resolver a equação em diferenças com a condição inicial . Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações em diferenças, que são usadas para modelar sequências que dependem de termos anteriores. Para resolver, vamos encontrar uma expressão geral para que nos permita calcular qualquer termo da sequência.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação nos diz como passar de um termo ao próximo adicionando 4. Isso significa que a cada passo, estamos aumentando o valor de em 4 unidades.

Passo 3

Para encontrar uma fórmula geral para , podemos notar que cada termo é igual ao termo anterior mais 4. Então, podemos escrever:
E assim por diante. Isso mostra que o -ésimo termo pode ser expresso como:

Passo 4

Substituímos a condição inicial na fórmula geral:

Passo 5

Para verificar nossa solução, vamos substituir na equação original:
Como ambos os lados são iguais, nossa solução está correta.

Resposta

A solução da equação em diferenças é .

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