Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo que a gente vai usar aqui é equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação diferencial:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente compara as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e que vamos determinar.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
de volta em
:
Como
é constante, podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva as equações diferenciais abaixo: