Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O conteúdo que a gente vai usar aqui é equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação diferencial:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente compara as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e que vamos determinar.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta em :
Como é constante, podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Encontre a solução geral das seguintes equações:
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