Resolva as equações diferenciais abaixo: (x+y) dx + (x-y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na equação . Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Já que a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função só de que ainda vamos determinar.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Então,
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
A solução geral da equação diferencial é .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante.

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