Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na equação . Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Já que a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função só de que ainda vamos determinar.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Então,
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
A solução geral da equação diferencial é .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Seja a temperatura no instante de um corpo imerso em um meio de temperatura constante . A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de é diretamente proporcional à diferença , isto é, . Considere um corpo aquecido a é posto em um ambiente a e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de .
Em quanto tempo será atingida a temperatura de ?
A concentração de no ar de uma sala com capacidade de é de . Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo de à razão de por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Encontre a porcentagem de na sala depois de 10 min .