Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na equação
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Já que a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função só de
que ainda vamos determinar.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial é
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Seja
a temperatura no instante
de um corpo imerso em um meio de temperatura constante
. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de
é diretamente proporcional à diferença
, isto é,
. Considere um corpo aquecido a
é posto em um ambiente a
e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de
.
Em quanto tempo será atingida a temperatura de ?
Em quanto tempo será atingida a temperatura de
A concentração de
no ar de uma sala com capacidade de
é de
. Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo
de
à razão de
por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Encontre a porcentagem de na sala depois de 10 min .
Encontre a porcentagem de