Encontre a solução geral das seguintes equações: (x^2 + 1) dy/dx - x y = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação na forma padrão e utilizar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela :
A equação agora pode ser escrita como:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral, usamos a fórmula:
Então:

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação é:

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