Encontre a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação na forma padrão e utilizar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Assim:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
A equação agora pode ser escrita como:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral, usamos a fórmula:
Então:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação é:
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Resolva as equações diferenciais abaixo:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
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Seja
a temperatura no instante
de um corpo imerso em um meio de temperatura constante
. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de
é diretamente proporcional à diferença
, isto é,
. Considere um corpo aquecido a
é posto em um ambiente a
e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de
.
Em quanto tempo será atingida a temperatura de ?
Em quanto tempo será atingida a temperatura de