Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que são equações que envolvem uma função desconhecida e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Lembre-se que
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Então, a equação fica:
Passo 3
Nossa meta é separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Vamos fazer isso multiplicando ambos os lados da equação por
:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma das variáveis, o que facilita a integração.
Passo 4
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A integração é o inverso da derivada e nos ajuda a encontrar a função original. Então, vamos integrar cada lado:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente:
- Integral do lado esquerdo:
- Integral do lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Igualando as integrais e combinando as constantes de integração em uma única constante
:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
para expressar a solução explícita da equação diferencial. Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos simplificar
para apenas
(já que
é uma constante arbitrária):
Passo 8
Por fim, tiramos a raiz quadrada dos dois lados para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante real.
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Encontre a solução geral das seguintes equações: