Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que são equações que envolvem uma função desconhecida e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Lembre-se que representa a derivada de em relação a , ou seja, . Então, a equação fica:

Passo 3

Nossa meta é separar os termos que envolvem dos que envolvem . Vamos fazer isso multiplicando ambos os lados da equação por :
Agora, cada lado da equação tem apenas uma das variáveis, o que facilita a integração.

Passo 4

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A integração é o inverso da derivada e nos ajuda a encontrar a função original. Então, vamos integrar cada lado:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente:
  • Integral do lado esquerdo:
  • Integral do lado direito:
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Igualando as integrais e combinando as constantes de integração em uma única constante :

Passo 7

Agora, vamos resolver para para expressar a solução explícita da equação diferencial. Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos simplificar para apenas (já que é uma constante arbitrária):

Passo 8

Por fim, tiramos a raiz quadrada dos dois lados para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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Encontre a solução geral das seguintes equações: