Resolva as equações diferenciais abaixo: d y/d x + y = x ; y(0) = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial . Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela tem a forma , onde e são funções conhecidas. No nosso caso, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é calculado usando a fórmula:
Para nossa equação, isso fica:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada de um produto.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Do lado direito, usamos a integração por partes para resolver .

Passo 6

Aplicando a integração por partes no lado direito:
Então, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :
Substituindo de volta na expressão para , temos:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' tg(x) = y - 1