Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela tem a forma
, onde
e
são funções conhecidas. No nosso caso,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é calculado usando a fórmula:
Para nossa equação, isso fica:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada de um produto.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. Do lado direito, usamos a integração por partes para resolver
.
Passo 6
Aplicando a integração por partes no lado direito:
Então, temos:
Passo 7
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Substituindo
de volta na expressão para
, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
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Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.