Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver a equação diferencial
. Essa equação pertence ao tópico de Equações Diferenciais Não Lineares, mais especificamente do tipo Equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição que transforma essa equação não linear em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
(assumindo que
):
Agora, a equação está na forma padrão da Equação de Bernoulli:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma Equação de Bernoulli, usamos a substituição
. No nosso caso, como
:
Agora, precisamos encontrar
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Rearranjando para ficar na forma linear:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear em
:
onde
e
.
Para resolver, encontramos o Fator Integrante
:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.