Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' tg(x) = y - 1

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial . Essa equação é de primeira ordem e a gente vai usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Dividindo os dois lados da equação original por , ficamos com:
Rearranjando, temos:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Sabemos que , então a integral fica:
Portanto:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A equação fica assim:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Simplificando :
Então a integral fica:

Passo 6

Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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