Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
. Essa equação é de primeira ordem e a gente vai usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Dividindo os dois lados da equação original por
, ficamos com:
Rearranjando, temos:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Sabemos que
, então a integral fica:
Portanto:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A equação fica assim:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Simplificando
:
Então a integral fica:
Passo 6
Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva as equações diferenciais abaixo:
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