Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, temos a equação diferencial
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente equações lineares. Pra resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares:
. No nosso caso, já está dessa forma, onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Então, substituindo
:
(Considerando
, podemos simplificar para
).
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Vamos verificar:
Então, podemos reescrever nossa equação como:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.
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