Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem, que aparecem quando queremos entender como uma função muda em relação a outra. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada separação de variáveis, onde rearranjamos a equação para isolar
de um lado e
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
Podemos dividir o numerador por
:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para separar
e
dos lados opostos:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 4
Vamos tentar simplificar a equação. Podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Rearranjamos os termos:
Passo 5
Percebi que estamos de volta à equação original. Então, vamos tentar outra abordagem usando substituição. Vamos definir
, onde
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Subtraímos
de ambos os lados:
Então:
Passo 8
Agora, separamos as variáveis
e
:
Isso está pronto para ser integrado dos dois lados.
Passo 9
Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
é uma nova constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.