Resolva as equações diferenciais abaixo: y' = (x^2 + y^2) / (x * y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem, que aparecem quando queremos entender como uma função muda em relação a outra. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada separação de variáveis, onde rearranjamos a equação para isolar de um lado e do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
Podemos dividir o numerador por :

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para separar e dos lados opostos:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 4

Vamos tentar simplificar a equação. Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar denominadores:
Rearranjamos os termos:

Passo 5

Percebi que estamos de volta à equação original. Então, vamos tentar outra abordagem usando substituição. Vamos definir , onde . Diferenciando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Subtraímos de ambos os lados:
Então:

Passo 8

Agora, separamos as variáveis e :
Isso está pronto para ser integrado dos dois lados.

Passo 9

Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde é uma nova constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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