Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, vamos tentar uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Passo 8
A solução particular é, portanto:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
e
são constantes arbitárias.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
;
eixo
.
Resolva as equações diferenciais abaixo:
(2,0 pontos) Um pecuarista observa que o custo e a equação de demanda de produçāo de carne de boi sāo dados por
onde
é o custo,
é a quantidade de arrobas e
é o preşo da arroba da carne de boi. Sabendo-se que o lucro é dado pela fórmula
determine:
i) a demanda para que o lucro seja máximo; 100
i) a demanda para que o lucro seja máximo; 100