Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e particulares, além de conhecer o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, a equação característica é
. Resolvendo para
:
Isso significa que as soluções são funções senoidais. Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Observamos que o lado direito,
, já está presente na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar nossa suposição de solução particular por
para evitar duplicação.
Vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original
:
Os termos com
se cancelam, restando:
Passo 6
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Passo 7
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
;
eixo
.
Resolva as equações diferenciais abaixo: