Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e particulares, além de conhecer o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, a equação característica é . Resolvendo para :
Isso significa que as soluções são funções senoidais. Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Observamos que o lado direito, , já está presente na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar nossa suposição de solução particular por para evitar duplicação.
Vamos assumir que a solução particular tem a forma:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 5

Substituímos e na equação original :
Os termos com se cancelam, restando:

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para :

Passo 7

Portanto, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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Resolva as equações diferenciais abaixo:
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;
eixo .
Resolva as equações diferenciais abaixo: