Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
;
eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido formado ao girar a região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis para volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites de integração. Igualando e :
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos e . Mas, nesse contexto, só temos soluções positivas relevantes, então vamos considerar .

Passo 3

Agora, vamos expressar as funções em termos de para facilitar a aplicação do método dos discos. A curva pode ser reorganizada para , e para .

Passo 4

O método dos discos nos diz que o volume é dado por:
onde é o raio externo e o raio interno.

Passo 5

Determinar os limites de integração:
  • Quando , na curva e na curva .
  • Quando , .
Então, os limites de vão de 0 a 1.

Passo 6

Identificar e :
  • é a distância da curva ao eixo : .
  • é a distância da curva ao eixo : .

Passo 7

Substituir na fórmula do volume:

Passo 8

Integrar termo a termo:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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