Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
;
eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido formado ao girar a região
limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis para volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites de integração. Igualando
e
:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos
e
. Mas, nesse contexto, só temos soluções positivas relevantes, então vamos considerar
.
Passo 3
Agora, vamos expressar as funções em termos de
para facilitar a aplicação do método dos discos. A curva
pode ser reorganizada para
, e
para
.
Passo 4
O método dos discos nos diz que o volume
é dado por:
onde
é o raio externo e
o raio interno.
Passo 5
Determinar os limites de integração:
- Quando
, na curva e na curva . - Quando
, .
Então, os limites de
vão de 0 a 1.
Passo 6
Identificar
e
:
-
é a distância da curva ao eixo : . -
é a distância da curva ao eixo : .
Passo 7
Substituir na fórmula do volume:
Passo 8
Integrar termo a termo:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.
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