(2,0 pontos) Um pecuarista observa que o custo e a equação de demanda de produçāo de carne de boi sāo dados por
onde
é o custo,
é a quantidade de arrobas e
é o preşo da arroba da carne de boi. Sabendo-se que o lucro é dado pela fórmula
determine:
i) a demanda para que o lucro seja máximo; 100
i) a demanda para que o lucro seja máximo; 100
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem uma situação onde um pecuarista está analisando o custo e a demanda para a produção de carne de boi. O objetivo é descobrir qual a quantidade de arrobas que vai trazer o lucro máximo. Vamos precisar usar conceitos de funções de custo, demanda e lucro, além de derivadas para encontrar o ponto de máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos:
-
Custo Total (C(x)): Representa o custo para produzir x arrobas de carne de boi.Aqui, 100x é o custo variável por arroba e 5.000 é o custo fixo.
-
Função de Demanda §: Representa o preço da arroba com base na quantidade produzida.Isso significa que, à medida que produzimos mais arrobas, o preço diminui.
Passo 3
A Função de Lucro (L) é calculada subtraindo o custo total da receita total. A receita total é o preço multiplicado pela quantidade vendida.
Substituindo as funções de p e C(x):
Passo 4
Vamos simplificar a função de lucro para facilitar a análise:
Passo 5
Para encontrar o valor de x que maximiza o lucro, precisamos derivar a função de lucro em relação a x e igualar a derivada a zero.
Primeiro, encontramos a derivada de L:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 7
Para confirmar que esse ponto é realmente o de máximo, podemos verificar o sinal da segunda derivada ou analisar a concavidade da função. Como o coeficiente de
é negativo (-1), sabemos que a parábola é voltada para baixo, indicando que o ponto crítico é de máximo.
Resposta
A demanda que maximiza o lucro é de 100 arrobas.
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Resolva as equações diferenciais abaixo:
(2,0 pontos) Um pecuarista observa que o custo e a equação de demanda de produçāo de carne de boi sāo dados por
onde
é o custo,
é a quantidade de arrobas e
é o preşo da arroba da carne de boi. Sabendo-se que o lucro é dado pela fórmula
determine:
iii) o lucro máximo. So00
Boa Prc
iii) o lucro máximo. So00
Boa Prc
Determine se a série converge ou diverge: