Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares: . No nosso caso, temos:
Então, podemos identificar que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante real.

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Resolva as equações diferenciais abaixo:
A concentração de no ar de uma sala com capacidade de é de . Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo de à razão de por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de de ?
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Resolva as equações diferenciais abaixo: