Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares:
. No nosso caso, temos:
Então, podemos identificar que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais abaixo:
A concentração de
no ar de uma sala com capacidade de
é de
. Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo
de
à razão de
por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de de
?
Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Resolva as equações diferenciais abaixo: