Resolva as equações diferenciais abaixo: y'' - 4y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aqui: . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, a gente escreve a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por e por , ficando:
Isso porque estamos transformando a equação diferencial em uma equação algébrica para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Vamos isolar :
Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Assim, encontramos duas soluções para : e .

Passo 4

Como temos duas soluções reais e distintas para , a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais. Ou seja:
Aqui, e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais, mas como não temos, deixamos assim.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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