Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aqui:
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente escreve a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
e
por
, ficando:
Isso porque estamos transformando a equação diferencial em uma equação algébrica para facilitar a resolução.
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
. Vamos isolar
:
Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Assim, encontramos duas soluções para
:
e
.
Passo 4
Como temos duas soluções reais e distintas para
, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais. Ou seja:
Aqui,
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais, mas como não temos, deixamos assim.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: